目录
一.反三角函数1.1反正弦函数1.2反余弦函数1.3反正切函数1.4反余切函数
二.反函数
一.反三角函数
1.1反正弦函数
正弦函数
y
=
sin
x
y=\sin x
y=sinx
\quad
(
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]
x∈[−2π,2π])的反函数叫反正弦函数 记作
y
=
arcsin
x
y=\arcsin x
y=arcsinx, (
x
∈
[
−
1
,
1
]
x\in[-1,1]
x∈[−1,1],
y
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
y\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]
y∈[−2π,2π]) 或
y
=
sin
y=\sin
y=sin-1
x
x
x
注意区分:
(
sin
x
)
(\sin x)
(sinx)-1=
1
sin
x
\frac{1}{\sin x}
sinx1
\quad
sin
\sin
sin-1
x
x
x =
arcsin
x
\arcsin x
arcsinx
当
x
∈
[
−
1
,
1
]
x\in[-1,1]
x∈[−1,1] 时,
\quad
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
\arcsin(-x)=-\arcsin x
arcsin(−x)=−arcsinx 当
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]
x∈[−2π,2π]时,
\quad
arcsin
(
sin
x
)
=
x
\arcsin(\sin x)=x
arcsin(sinx)=x 当
x
∈
[
−
1
,
1
]
x\in[-1,1]
x∈[−1,1]时,
\quad
\quad
sin
(
arcsin
x
)
=
x
\sin(\arcsin x)=x
sin(arcsinx)=x
\quad
\quad
1.2反余弦函数
正弦函数
y
=
cos
x
y=\cos x
y=cosx
\quad
(
x
∈
[
0
,
π
]
x\in[0,π]
x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数 记作
y
=
arccos
x
y=\arccos x
y=arccosx, (
x
∈
[
−
1
,
1
]
x\in[-1,1]
x∈[−1,1],
y
∈
[
0
,
π
]
y\in[0,π]
y∈[0,π]) 或
y
=
cos
y=\cos
y=cos-1
x
x
x
反余弦函数是严格单调递减, 有界的非奇非偶函数, 它的图像关于点(0,
π
2
\frac{π}{2}
2π)中心对称, 所以
y
1
y_1
y1+
y
2
y_2
y2= π
当
x
∈
[
−
1
,
1
]
x\in[-1,1]
x∈[−1,1]时,
\quad
cos
\cos
cos-1(-x)
=
π
−
cos
=π-\cos
=π−cos-1x 当
x
∈
[
0
,
π
]
x\in[0,π]
x∈[0,π] 时,
\quad
cos
\cos
cos-1
(
cos
x
)
=
x
(\cos x)=x
(cosx)=x 当
x
∈
[
−
1
,
1
]
x\in[-1,1]
x∈[−1,1]时,
\quad
cos
\cos
cos(
cos
\cos
cos-1
x
x
x)
=
x
=x
=x 当
x
∈
[
−
1
,
1
]
x\in[-1,1]
x∈[−1,1]时,
\quad
sin
\sin
sin(
cos
\cos
cos-1
x
x
x) =
1
−
x
2
\sqrt{1-x^2}
1−x2
最后一个公式的证明过程 令 y=
cos
\cos
cos-1
x
x
x
\quad
x
∈
[
0
,
π
]
x\in[0,π]
x∈[0,π]
sin
\sin
sin(
cos
\cos
cos-1
x
x
x) =
sin
y
\sin y
siny =
1
−
cos
2
y
\sqrt{1-\cos^2y}
1−cos2y
=
1
−
x
2
\sqrt{1-x^2}
1−x2
\quad
\quad
1.3反正切函数
正切函数
y
=
tan
x
y=\tan x
y=tanx
\quad
(
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]
x∈[−2π,2π])的反函数叫反正切函数 记作
y
=
arctan
x
y=\arctan x
y=arctanx, (
x
∈
R
x\in R
x∈R,
y
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
y\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]
y∈[−2π,2π]) 或
y
=
tan
y=\tan
y=tan-1
x
x
x
当
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
x\in(-\infty,\infty)
x∈(−∞,∞)时,
\quad
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
\arctan(-x)=-\arctan x
arctan(−x)=−arctanx 当
x
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
x\in(-\frac{π}{2},\frac{π}{2})
x∈(−2π,2π)时,
\quad
arctan
(
tan
x
)
=
x
\arctan(\tan x)=x
arctan(tanx)=x 当
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
x\in(-\infty,\infty)
x∈(−∞,∞)时,
\quad
tan
(
arctan
x
)
=
x
\tan(\arctan x)=x
tan(arctanx)=x
\quad
\quad
1.4反余切函数
余切函数
y
=
cot
x
y=\cot x
y=cotx
\quad
(
x
∈
[
0
,
π
]
x\in[0,π]
x∈[0,π])的反函数叫反余切函数 记作
y
=
cot
y=\cot
y=cot-1x, (
x
∈
R
x\in R
x∈R,
y
∈
[
0
,
π
]
y\in[0,π]
y∈[0,π])
当
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
x\in(-\infty,\infty)
x∈(−∞,∞)时,
\quad
cot
\cot
cot-1(-x) = π-
cot
\cot
cot-1x 当
x
∈
(
0
,
π
)
x\in(0,π)
x∈(0,π)时,
\quad
\quad
\quad
cot
\cot
cot-1(
cot
x
\cot x
cotx) =
x
x
x 当
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
x\in(-\infty,\infty)
x∈(−∞,∞)时,
\quad
cot
\cot
cot(
cot
\cot
cot-1
x
x
x) =
x
x
x 当
x
∈
(
−
∞
,
0
)
x\in(-\infty,0)
x∈(−∞,0)
∪
\cup
∪(0,
∞
\infty
∞)时,
\quad
tan
(
cot
\tan(\cot
tan(cot-1
x
x
x) =
1
x
\frac{1}{x}
x1,
\quad
cot
(
tan
\cot(\tan
cot(tan-1
x
x
x) =
1
x
\frac{1}{x}
x1 当
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
x\in(-\infty,\infty)
x∈(−∞,∞)时,
\quad
tan
\tan
tan-1
x
x
x +
cot
\cot
cot-1
x
x
x =
π
2
\frac{π}{2}
2π
补充
tan
\tan
tan-1
x
x
x +
cot
\cot
cot-1
x
x
x =
π
2
\frac{π}{2}
2π
sin
\sin
sin-1
x
x
x +
cos
\cos
cos-1
x
x
x =
π
2
\frac{π}{2}
2π
\quad
\quad
二.反函数
原函数
\quad
对应
\quad
反函数 y=f(x)
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
y=f-1(x) x
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
y y
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
x 定义域
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
值域 值域
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
定义域
图像关于y=x轴对称,原函数与反函数单调性同增同减
求解反函数的方法 (1)把y当作常数, 将函数看作是一个方程, 求出变量x (2)把x和y对调
\quad
\quad
例题1:
(1)
arcsin
(
−
1
)
\arcsin(-1)
arcsin(−1)
∵
\because
∵-1
∈
\in
∈[-1,1]
sin
(
−
π
2
)
\sin(-\frac{π}{2})
sin(−2π)=-1
∴
\therefore
∴
arcsin
(
−
1
)
\arcsin(-1)
arcsin(−1) =
−
π
2
-\frac{π}{2}
−2π
(2)
arcsin
(
−
3
2
)
\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})
arcsin(−23
)
∵
\because
∵
−
3
2
-\frac{\sqrt{3}}{2}
−23
∈
\in
∈[-1,1]
sin
(
−
π
3
)
\sin(-\frac{π}{3})
sin(−3π)=
−
3
2
-\frac{\sqrt{3}}{2}
−23
∴
\therefore
∴
arcsin
(
−
3
2
)
\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})
arcsin(−23
) =
−
π
3
-\frac{π}{3}
−3π
(3)
arccos
(
2
2
)
\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})
arccos(22
)
∵
\because
∵
2
2
\frac{\sqrt{2}}{2}
22
∈
\in
∈[-1,1]
cos
(
π
4
)
=
2
2
\cos(\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}
cos(4π)=22
∴
\therefore
∴
arccos
(
2
2
)
\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})
arccos(22
) =
π
4
\frac{π}{4}
4π
(4)
arccos
0
\arccos0
arccos0
∵
\because
∵ 0
∈
\in
∈[-1,1]
cos
(
π
2
)
=
0
\cos(\frac{π}{2})=0
cos(2π)=0
∴
\therefore
∴
arccos
(
0
)
\arccos(0)
arccos(0) =
π
2
\frac{π}{2}
2π
(5)
arctan
3
3
\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}
arctan33
∵
\because
∵
3
3
\frac{\sqrt{3}}{3}
33
∈
\in
∈
(
−
∞
,
∞
)
(-\infty,\infty)
(−∞,∞)
tan
π
6
\tan\frac{π}{6}
tan6π =
3
3
\frac{\sqrt{3}}{3}
33
∴
\therefore
∴
arctan
3
3
\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}
arctan33
=
π
6
\frac{π}{6}
6π
\quad
\quad
例题2: (1)
sin
[
arcsin
(
−
1
2
)
]
\sin[\arcsin(-\frac{1}{2})]
sin[arcsin(−21)]
−
1
2
-\frac{1}{2}
−21
(2)
arccos
(
cos
11
π
6
)
\arccos(\cos\frac{11π}{6})
arccos(cos611π)
cos
11
π
6
\cos\frac{11π}{6}
cos611π =
cos
(
−
π
6
)
\cos(-\frac{π}{6})
cos(−6π) =
cos
(
π
6
)
\cos(\frac{π}{6})
cos(6π) =
3
2
\frac{\sqrt{3}}{2}
23
∴
\therefore
∴
arccos
(
3
2
)
\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})
arccos(23
) =
π
6
\frac{π}{6}
6π
\quad
\quad
例题3: 求下列函数的反函数 方法: 先求出自变量为y的方程, 再把x和y互换
(1)
y
=
x
−
1
x
+
1
y=\frac{x-1}{x+1}
y=x+1x−1 =>
y
(
x
+
1
)
=
x
−
1
y(x+1)=x-1
y(x+1)=x−1 =>
y
x
+
y
=
x
−
1
yx+y=x-1
yx+y=x−1 =>
y
x
−
x
=
−
y
−
1
yx-x=-y-1
yx−x=−y−1 =>
x
(
y
−
1
)
=
−
y
−
1
x(y-1)=-y-1
x(y−1)=−y−1 =>
x
=
−
y
−
1
y
−
1
x=\frac{-y-1}{y-1}
x=y−1−y−1 整理(上下同乘-1) =>
x
=
1
+
y
1
−
y
x=\frac{1+y}{1-y}
x=1−y1+y =>
y
=
1
+
x
1
−
x
y=\frac{1+x}{1-x}
y=1−x1+x
(2)
y
=
e
y=e
y=e2x =>
ln
y
=
2
x
\ln y=2x
lny=2x =>
x
=
ln
y
2
x=\frac{\ln y}{2}
x=2lny =>
y
=
ln
x
2
y=\frac{\ln x}{2}
y=2lnx
(3)
y
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
y=ln(x+x2+1
) =>
e
y
=
x
+
x
2
+
1
e^y=x+\sqrt{x^2+1}
ey=x+x2+1
=>
e
y
−
x
=
x
2
+
1
e^y-x=\sqrt{x^2+1}
ey−x=x2+1
=> e2y+
x
2
−
2
x
e
y
=
x
2
+
1
x^2-2xe^y=x^2+1
x2−2xey=x2+1 => e2y
−
2
x
e
y
=
1
-2xe^y=1
−2xey=1 =>
e
y
(
e
y
−
2
x
)
=
1
e^y(e^y-2x)=1
ey(ey−2x)=1 =>
e
y
−
2
x
=
1
e
y
e^y-2x=\frac{1}{e^y}
ey−2x=ey1 =>
x
=
e
y
−
1
e
y
2
x=\frac{e^y-\frac{1}{e^y}}{2}
x=2ey−ey1
(4)
y
=
sin
3
x
y=\sin3x
y=sin3x =>
3
x
=
arcsin
y
3x=\arcsin y
3x=arcsiny =>
x
=
1
3
arcsin
y
x=\frac{1}{3}\arcsin y
x=31arcsiny =>
y
=
1
3
arcsin
x
y=\frac{1}{3}\arcsin x
y=31arcsinx
(5)
y
=
arcsin
3
x
y=\arcsin3x
y=arcsin3x =>
3
x
=
sin
y
3x=\sin y
3x=siny =>
x
=
sin
y
3
x=\frac{\sin y}{3}
x=3siny =>
y
=
1
3
sin
x
y=\frac{1}{3}\sin x
y=31sinx